Persamaan Schrodinger

Persamaan Gelombang Schrödinger pada Atom Hidrogen
Atom hidrogen terdiri dari inti bermuatan +e dan elektron (partikel yang bermuatan –e.

Untuk kemudahan, inti atom dianggap diam dan elektron bergerak mengelilingi inti karena pengaruh gaya Coulomb dari inti. Persamaan Schrödinger untuk elektron dalam sistem koordinat kartesian tiga dimensi :

Energi potensial V adalah energi potensial listrik :

Karena energi potensial V hanya merupakan fungsi dari r, maka persamaan Schrödinger lebih mudah diselesaikan bila digunakan sistem koordinat bola. Persamaan Schrödinger dalam sistem koordinat bola berbentuk :
(3)

dengan  = (r,,) yang dapat diandaikan berbentuk :
(r,,) = R(r)()() (4)
dengan melakukan subtitusi persamaan (4) ke persamaan (3), selanjutnya membagi seluruh persamaan dengan R(r)()() diperoleh :
(5)

Persamaan (5) dikalikan dengan r2sin2 sehingga diperoleh :
(6)

Suku ketiga dari persamaan (6) hanya merupakan fungsi dari variabel , sehingga harus sama dengan suatu konstanta, misalnya sama dengan –m2, maka diperoleh persamaan:


atau
(7)

yang merupakan komponen azimuth dari persamaan Schrödinger dan persamaan (6) menjadi :
(8)

Persamaan (8) dibagi dengan sin2 diperoleh
(9)

atau bisa dituliskan sebagai :
(10)

Persamaan (10) hanya akan benar jika kedua ruas sama dengan suatu konstanta yang sama. Misalkan konstanta tersebut adalah l(l+1) maka diperoleh persamaan :


atau

(11)
yang merupakan komponen radial dari persamaan Schrödinger, dan :


atau
(12)

yang merupakan komponen tangensial dari persamaan Schrödinger.